题目

如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，BA＝BC.把△BAC沿AC折起到△PAC的位置，使得点P在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，如图2所示．点E、F分别为棱PC，CD的中点． (1)求证：平面OEF∥平面APD； (2)求证：CD⊥平面POF； (3)在棱PC上是否存在一点M，使得M到P，O，C，F四点距离相等？请说明理由． 答案：解析：　(1)证明：因为点P在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，所以PO⊥平面ADC，所以PO⊥AC. 因为AB＝BC，所以O是AC的中点， 所以OE∥PA. 同理OF∥AD. 又OE∩OF＝O，PA∩AD＝A， 所以平面OEF∥平面PDA. (2)证明：因为OF∥AD，AD⊥CD， 所以OF⊥CD. 又PO⊥平面ADC，CD⊂平面ADC， 所以PO⊥CD. 又OF∩PO＝O，所以CD⊥平面POF. (3)存在，事实上记点E为M即可． 因为CD⊥平面POF，PF⊂平面POF， 所以CD⊥PF. 又E为PC的中点，所以EF＝PC， 同理，在直角三角形POC中，EP＝EC＝OE＝PC， 所以点E到四个点P，O，C，F的距离相等．

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