题目

（本小题满分14分） 平面直角坐标系中，已知直线:，定点，动点到直线的距离是到定点的距离的2倍. （1）求动点的轨迹的方程； （2）若为轨迹上的点，以为圆心，长为半径作圆，若过点可作圆的两条切线,（，为切点），求四边形面积的最大值． 答案：（本小题满分14分） 解（1）设点到的距离为，依题意得， 即，                          ………………………………2分 整理得，轨迹的方程为．             ………………………………4分 （2）（法一）设 ，圆：，其中 由两切线存在可知，点在圆外， 所以，，即， 又为轨迹上的点，所以． 而，所以，，即． ……………………6分 由（1）知，为椭圆的左焦点， 根据椭圆定义知，， 所以，而， 所以，在直角三角形中， ， ， 由圆的性质知，四边形面积，其中．………10分 即（）． 令（），则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以，在时，取极大值，也是最大值， 此时．            …………………………14分 （法二）同法一，四边形面积，其中．…10分 所以． 由，解得，所以．  ……………………14分

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