题目

如图所示，已知A（-1，0），B（1，0），直线l垂直AB于A点，P为l上一动点，点N为线段BP上一点，且满足，点M满足 (λ＞0), =0．（1）求动点M的轨迹方程C；（2）在上述曲线内是否存在一点Q，若过点Q的直线与曲线C交于两点E、F，使得以EF为直径的圆都与l相切?若存在，求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由． 答案：解：由知点N为BP中点，由(λ＞0)知且点M与B位于l同侧.             ∵=0,∴.由此知MN为线段BP的垂直平分线，所以应有｜MB｜=｜MP｜.                  由抛物线定义知点M的轨迹为抛物线，点B为焦点，直线l为准线，(1)因为A(-1,0)，B(1,0)，所以l:x=-1.抛物线方程为y2=4x,即为点M的轨迹方程.                                      (2)存在点Q，即为焦点B(1,0).                                              证明如下：设EF为抛物线的焦点弦，设其中点为H，分别由E、H、F向l作垂线，垂足分别为R、S、T.由梯形的中位线知：｜HS｜=(｜ER｜+｜FT｜)=(｜EB｜+｜FB｜)=｜EF｜,                   即以EF为直径的圆的圆心到直线l的距离等于半径.所以以EF为直径的圆必与直线l相切.所以存在点Q,其坐标为(1,0).

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