题目

如图，在 Rt△ABC中,∠ACB＝90D是AB 边上的一点，以BD为直径的 ⊙0与边 AC 相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点 F . ( 1 ）求证： BD = BF ; ( 2 ）若 BC = 12 , AD = 8 ，求 BF 的长． 答案： 证明：（1）连结OE， ∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED ∵⊙O与边 AC 相切于点E，∴OE⊥AE，∴∠OEA=90° ∵∠ACB=90°，∴∠OEA=∠ACB，∴OE∥BC，∴∠F=∠OED ∴∠ODE=∠F ∴BD=BF （2）过D作DG⊥AC于G，连结BE， ∴∠DGC=∠ECF，DG∥BC ∵BD为直径，∴∠BED=90° ∵BD=BF，∴DE=EF 在△DEG和△FEC中 ∵∠DGC=∠ECF，∠DEG=∠FEC，DE=EF ∴△DEG≌△FEC ∴DG=CF ∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC ∴，∴，∴，∴或（舍去）， ∴BF=BC+CF=12+4=16

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