题目

设f(x)=-x3+x2+2ax. (1)若f(x)在上存在单调增区间，求实数a的取值范围； (2)当0<a<2时，若f(x)在[1，4]上的最小值为-，求f(x)在该区间上的最大值. 答案：(1) 因为f(x)=-x3+x2+2ax， 所以f'(x)=-x2+x+2a. 又f(x)在上存在增区间. 所以f'(x)>0在上有解. 又f'(x)=-x2+x+2a的对称轴方程为x=，所以f'(x)在上单调递减，所以在上，f'(x)<f'=+2a，由题意知+2a>0，即a∈. (2) f'(x)=-x2+x+2a，当0<a<2时，Δ=1+8a>0， 所以f'(x)=-x2+x+2a=0有两个不相等的实数根x1，x2， 则x1=， x2=(舍去). 由题知x1=∈[1，4]， 所以当x∈(1，x1)时，f'(x)>0； 当x∈(x1，4)时，f'(x)<0， 所以当x=1或4时，f(x)取最小值. 又f(1)=2a+，f(4)=8a-. 因为a∈(0，2)，所以f(4)<f(1)， 所以f(x)min=f(4)=8a-=-， 解得a=1. 所以x1==2， f(x)max=f(2)=.

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