题目

有一张矩形纸片ABCD，已知AB=2，AD=5．把这张纸片折叠，使点A落在边BC上的点E处，折痕为MN，MN交AB于M，交AD于N． （1）若BE=，试画出折痕MN的位置，并求这时AM的长； （2）点E在BC上运动时，设BE=x，AN=y，试求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； （3）连接DE，是否存在这样的点E，使得△AME与△DNE相似？若存在，请求出这时BE的长；若不存在，请说明理由． 答案：【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理；相似三角形的判定与性质． 【专题】压轴题；开放型；操作型． 【分析】（1）根据折叠的性质，折叠前后线段相等，即AM=ME，再由勾股定理求得AM=． （2）仿（1）可求AM=．又根据折叠的性质，可证△AMN∽△BEA，得=，推出，定义域为：． （3）可用分析法：若△AME与△DNE相似，可推出DN=NE=NA=，进而取得BE=1． 【解答】解：（1）画出正确的图形．（折痕MN必须与AB、AD相交） 设AM=t，则ME=t，MB=2﹣t，由BM2+BE2=ME2，得t=，即AM=． （2）如上图（a），仿（1）得，AM=． 由△AMN∽△BEA，得=，推出， ∵0＜x≤2，0＜y≤5， x的取值范围为：． （3）如上图（b），若△AME与△DNE相似，不难得∠DNE=∠AME． 又因为AM=ME，所以DN=NE=NA=，所以， 解得：x=1或x=4． 又∵，故x=1． 或者由∠DEN=∠AEM，得∠AED=90°， 推出△ABE∽△ECD， 从而得BE=1．

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