题目

已知f(x)=-ax+x3，x∈R.(1)当x=1时，f(x)取得极值，证明：对任意x1、x2(-1，1)，不等式|f(x1)-f(x2)|＜4恒成立；(2)若f(x)是上的单调函数，求实数a的取值范围；(3)在(2)的条件下，若当x0≥1，f(x0)≥1，有f=[f(x0)]=x0，求证：f(x0)=x0. 答案：(1)证明：∵(x)=3x2-a,由于x=1是y=f(x)的一个极值点.∴(1)=3-a=0,∴a=3.  ∴(x)=3x2-a,f(x)=x3-3x.当-1≤x≤1时,(x)=3(x+1)(x-1)≤0∴f(x)在[-1,1]上是减函数  当-1≤x≤1时，f(x)min=f(1)=-2.f(x)max=f(-1)=2∴对任意x1、x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|＜|f(x)max-f(x)min|=2-(-2)=4.  (2)解:∵(x)=3x2-a  若f(x)在上是减函数.则3x2-a≤0在上恒成立即a≥3x2在上恒成立∵当x≥1时，不存在常数a使得a≥3x2在上恒成立  ∴a不存在  若f(x)在上是增函数则3x2-a≥0在上恒成立即a≤3x2在上恒成立∵x∈时，(3x2)min=3.∴a≤3符合题意∴所求实数a的取值范围为.  (3)证明：若f(x0)＞x0≥1,由(2)得f[f(x0)]＞f(x0)∵f[f(x0)]=x0,这时有x0＞f(x0),与假设矛盾.  若x0＞f(x0)≥1,则f(x0)＞f[f(x0)]∵f[f(x0)]=x0,这时有f(x0)＞x0,与假设矛盾.∴f(x0)=x0.

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