题目

设函数y＝f(x)的定义域为R，并且满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f＝1，当x>0时，f(x)>0. (1)求f(0)的值； (2)判断函数的奇偶性； (3)如果f(x)＋f(2＋x)<2，求x的取值范围． 答案： 解：(1)令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)， ∴f(0)＝0. (2)令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0， ∴f(－x)＝－f(x)，故函数f(x)是R上的奇函数． (3)任取x1，x2∈R，x1<x2，则x2－x1>0. ∵f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1＋x1)－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－f(x1)＝f(x2－x1)>0， ∴f(x1)<f(x2)．故f(x)是R上的增函数． ∵f＝1，∴f＝f ＝f＋f＝2. ∴f(x)＋f(2＋x)＝f[x＋(2＋x)]＝f(2x＋2)<f.又由y＝f(x)是定义在R上的增函数，得2x＋2<，解之得x<－. 故x∈.

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