题目

已知四边形ABCD的外接圆⊙O的半径为5，对角线AC与BD的交点为E，且AB2=AE·AC，BD=8，1.判断△ABD的形状并说明理由；2.求△ABD的面积  答案： 1.△ABD是等腰三角形如图，连接OA、OB，交DB于F；∵AB2=AE•AC，即；又∵∠BAE=∠CAB，∴△ABE∽△ACB；∴∠DBA=∠BCA；而∠BCA=∠BDA，∴∠DBA=∠BDA；∴AB=AD，∴△ABD是等腰三角形。（4分）2.∵AB=AD，∴OA⊥BD，且F为BD的中点；∴BF=4；在Rt△BOF中，OB2=BF2+OF2，∴OF=3；而OA=5，∴AF=2；∴S△ABD=BD×AF=8．（10分）解析:求△ABD的面积，已知了底边BD的长，因此只需求出BD边上的高即可．连接OA、OB，交DB于F；已知AB2=AE•AC，易证得△ABE∽△ACB；可得∠BCA=∠DBA，即弧AD=弧AB，根据垂径定理，可知OA垂直平分BD；易求得OF=3，则AF=2，由此可求得△ABD的面积． 

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