题目

 如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD、BE、CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的度数为_____________.   答案：：122°.【考点】三角形的内心，三角形的外接圆，圆周角定理，三角形内角和定理，三角形外角性质． 【分析】根据E是△ABC的内心，可知AE平分∠BAC， BE平分∠ABD，CE平分∠ACB， 再根据圆周角定理，得出∠CAD=∠CBD=32°，然后根据三角形内角和定理，得出∠ABC+∠ACB的度数，再根据三角形外角性质，得出∠BEC的度数. 【解答】解：∵E是△ABC的内心， ∴AE平分∠BAC 同理BE平分∠ABD，CE平分∠ACB， ∵∠CBD=32°， ∴∠CAD=∠CBD=32°， ∴∠BAC=2∠CBD=64°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-64°=116°， ∴∠ABE+∠ACE=×116°=58°， ∠BEC=∠BAC+∠ABE+∠ACE=64°+58°=122°. 故答案为 【点评】本题考查了三角形的内心，三角形的外接圆，圆周角定理，三角形内角和定理，三角形外角性质．熟知三角形的内心（三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心）和根据圆周角定理得出角的数量关系是解题的关键. 内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。内心定理：三角形的三个内角的角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心.

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