题目

在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2﹣2x+n与x轴的两个交点分别为A（﹣3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H． （1）求m、n的值和顶点C的纵坐标． （2）在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由； （3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标． 　 答案：【解答】解：（1）把A（﹣3，0）、B（1，0）分别代入y=mx2﹣2x+n， ， 解得：m=﹣1，n=3， 则该抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3， 因为y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4， 所以顶点C的坐标为（﹣1，4）； （2）如图1，过点C作CE⊥y轴于点E， 设D（0，c），则OD=c， ∵A（﹣3，0），C（﹣1，4）， ∴CE=1，OA=3，OE=4， 假设在y轴上存在满足条件的点D， 由∠CDA=90°得∠1+∠2=90°， 又∵∠2+∠3=90°， ∴∠3=∠1， 又∵∠CED=∠DOA=90°， ∴△CED∽△DOA， ∴=， 设D（0，c）， 则=， 变形，得c2﹣4c+3=0，解得c1=3，c2=1， 综合上述：在y轴上存在点D（0，3）或（0，1），使△ACD是以AC为斜边的直角三角形； （3）①若点P在对称轴右侧（如图2），只能是△PCQ∽△CAH，得∠QCP=∠CAH， 延长CP交x轴于M， ∴AM=CM， ∴AM2=CM2． 设M（m，0），则（m+3）2=42+（m+1）2， ∴m=2，即M（2，0）， 设直线CM的解析式为y=k1x+b1， 则， 解之得：k1=﹣，b1=， ∴直线CM的解析式y=﹣x+， 联立， 解得：或（舍去）， ∴P（，）； ②若点P在对称轴左侧（如图3），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH． 过A作CA的垂线交PC于点F，作FN⊥x轴于点N， 由△CFA∽△CAH得： ==2， 由△FNA∽△AHC得： ===， ∴AN=2，FN=1，CH=4，HO=1，则AH=2， ∴点F坐标为（﹣5，1）． 设直线CF的解析式为y=k2x+b2，则， 解得：k2=，b2=， ∴直线CF的解析式y=x+， 联立， 解得或（舍去）， ∴P（﹣，）， ∴满足条件的点P坐标为（，）或（﹣，）． 　

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