题目

如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）若∠PAC=60°，直径AC=4，求图中阴影部分的面积． 　 答案：【考点】切线的判定；扇形面积的计算． 【分析】（1）首先连接AN，由以AC为直径的⊙O，可得∠ANC=90°，又由AB=AC，AN⊥BC，可求得∠CAN=∠BCP，继而证得∠ACP=90°，即可判定PC是⊙O的切线； （2）连接ON，由AB=AC，∠BAC=60°，可得△ABC是等边三角形，然后分别求得△OCN与扇形CON的面积，即可求得答案． 【解答】（1）证明：连接AN， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ANC=90°， ∴∠NAC+∠NCA=90°， ∵AB=AC，AN⊥BC， ∴∠BAN=∠CAN， ∵∠CAB=2∠BCP， ∴2∠CAN=2∠BCP， ∴∠CAN=∠BCP， ∴∠BCP+∠ACB=90°， 即∠ACP=90°， ∴AC⊥PC， ∵AC为⊙O直径， ∴PC是⊙O的切线；                                  （2）连接ON， ∵AB=AC，∠BAC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°， ∵ON=OC， ∴△ONC是等边三角形， ∴∠NOC=60°， ∴OC=NC=AC=×4=2， 过点O作OE⊥NC于E， ∵sin∠ACB=， ∴sin60°=， ∴OE=2×=3， ∵S△ONC=NC•OE=×2×3=3，S扇形==2π， ∴S阴影=S扇形﹣S△ONC=2π﹣3． 【点评】此题考查了切线的判定、扇形的面积以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

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