题目

如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（0，4），抛物线经过B点，且顶点在直线上．1.求抛物线对应的函数关系式；2.若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由3.在（2）的条件下，连结BD，已知在对称轴上存在一点P，使得△PBD的周长最小．请求出点P的坐标．4.在（2）、（3）的条件下，若点M是线段OB上的一个动点（与点O、B不重合），过点M作MN∥BD交x轴于点N，连结PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时M点的坐标；若不存在，请说明理由．  答案： 1.∵抛物线经过B（0，4），∴，------1分 ∵顶点在直线上，∴，，∴所求函数关系式为： --------------------------------------2分2.在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴，∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD=DA=AB=5， ∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）．---------------------------------3分  当时，，-----------------------------------------4分当时，，∴点C和点D在所求抛物线上．--------------------------------------------------5分3.设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，--------------------------6分设直线CD对应的函数关系式为，则，解得：，∴，---------------------7分当时，，∴P（，），-------------------8分4.∵MN∥BD，∴△OMN∽△OBD，∴，，，---------------9分设对称轴交x轴于点F，则，∵，，∴（-------------10分由，∴当时，S取得最大值为，-----------------11分此时点M的坐标为（0，）．解析:此题考核二次函数的综合应用（1）  通过B（0，4），顶点在直线上，求出函数关系式（2）  通过勾股定理和菱形性质求出C、D两点的坐标，代入函数关系式求证（3）  通过C、D两点的坐标, 求出直线CD对应的函数关系式,从而求出点P的坐标通过△OMN∽△OBD，求得，再通过面积求得S与t的函数关系式，从而求得最大值和M点的坐标 

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