题目

点 A，B，C，D在同一球面上，AB=BC=，AC=2，若球的表面积为，则四面体ABCD体积的最大值为　　　　　　． 答案：　． 【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积． 【专题】计算题；空间位置关系与距离． 【分析】根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积． 【解答】解：根据题意知，△ABC是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，球的半径为r， 因为球的表面积为， 所以4πr2= 所以r=， 四面体ABCD的体积的最大值，底面积S△ABC不变，高最大时体积最大， 就是D到底面ABC距离最大值时，h=r+=2． 四面体ABCD体积的最大值为×S△ABC×h==， 故答案为：． 【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值，是解答的关键．

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