题目

（2009四川卷理）（本小题满分14分） 设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。 （I）求数列的通项公式； （II）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有； （III）设数列的前项和为。已知正实数满足：对任意正整数恒成立，求的最小值。 本小题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力。 答案：解：（Ⅰ）当时， 又 数列成等比数列，其首项，公比是 ……………………………………..3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 .       =  又 当 当                      （Ⅲ）由（Ⅰ）知 一方面，已知恒成立，取n为大于1的奇数时，设 则                > 对一切大于1的奇数n恒成立 只对满足的正奇数n成立，矛盾。 另一方面，当时，对一切的正整数n都有 事实上，对任意的正整数k，有                      当n为偶数时，设 则      <      当n为奇数时，设 则 .    < 对一切的正整数n，都有 综上所述，正实数的最小值为4………………………….14分

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