题目

（本小题满分12分）设数列、、满足：，（n=1，2，3，…），       证明：为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1，2，3，…） 答案：见解析 解析:必要性：设数列是公差为的等差数列，则： ==－=0， ∴（n=1，2，3，…）成立；        又=6（常数）（n=1，2，3，…）        ∴数列为等差数列.        充分性：设数列是公差为的等差数列，且（n=1，2，3，…），        ∵……①      ∴……②        ①－②得：=        ∵        ∴……③   从而有……④        ④－③得：……⑤        ∵，，，        ∴由⑤得：（n=1，2，3，…），        由此，不妨设（n=1，2，3，…），则（常数）        故……⑥        从而……⑦        ⑦－⑥得：，        故（常数）（n=1，2，3，…）， ∴数列为等差数列. 综上所述：为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1，2，3，…）.

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