题目

已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点． (1)求E的方程； (2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程． 答案：解：(1)设F(c，0)，由条件知，＝，得c＝. 又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1. 故E的方程为＋y2＝1. (2)当l⊥x轴时不合题意， 故可设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)． 将y＝kx－2代入＋y2＝1得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0， 当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时， x1，2＝ 从而|PQ|＝|x1－x2| 因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，满足Δ>0， 所以，当△OPQ的面积最大时，k＝±，l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.

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