题目

在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y1=ax2+3x+c的图像经过原点及点 A（1，2）， 与x轴相交于另一点B. （1）求：二次函数y1的解析式及B点坐标； （2）若将抛物线y1以x=3为对称轴向右翻折后，得到一个新的二次函数y2,已知二次函数y2与x轴交于两点，其中右边的交点为C点. 点P在线段OC上，从O点出发向C点运动，过P点作x轴的垂线，交直线AO于D点，以PD为边在PD的右侧作正方形PDEF（当P点运动时，点D、点E、点F也随之运动）； ①当点E在二次函数y1的图像上时，求OP的长. ②若点P从O点出发向C点做匀速运动，速度为每秒1个单位长度，同时线段OC上另一个点Q从C点出发向O点做匀速运动，速度为每秒2个单位长度（当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动）.过Q点作x轴的垂线，与直线AC交于G点，以QG为边在QG的左侧作正方形QGMN（当Q点运动时，点G、点M、点N也随之运动），若P点运动t秒时，两个正方形分别有一条边恰好落在同一条直线上（正方形在x轴上的边除外），求此刻t的值. 答案：【解】（1）∵二次函数y1=ax2+3x+c的图象经过原点及点A（1，2）， ∴将（0，0），代入得出： c=0， 将（1，2）代入得出：a+3=2，解得：a=-1， 故二次函数解析式为：y1=-x2+3x， ∵图象与x轴相交于另一点B， ∴0=-x2+3x， 解得：x=0或3， 则B（3，0）；（2）①由已知可得C（6，0） 如图：过A点作AH⊥x轴于H点，设OP=m ∵DP∥AH， ∴△OPD∽△OHA， ∴，即， ∴PD=2m，∵正方形PDEF， ∴E（3m，2m）， ∵E（3m，2m）在二次函数y1=-x2+3x的图象上， ∴m=； 即OP=．②如图1： 当点F、点N重合时，有OF+CN=6， ∵直线AO过点（1，2）， 故直线解析式为：y=2x， 当OP=t， 则AP=2t， ∵直线AC过点（1，2），（6，0）， 代入y=kx+b， ，解得：， 故直线AC的解析式为：y=， ∵当OP=t，QC=2t， ∴QO=6-2t， ∴GQ== 即NQ=， ∴OP+PN+NQ+QC=6， 则有3t+2t+=6， 解得：t=； 如图2： 当点F、点Q重合时，有OF+CQ=6，则有3t+2t=6， 解得：t=； 如图3： 当点P、点N重合时，有OP+CN=6，则有t+2t+=6， 解得：t=， 如图4： 当点P、点Q重合时，有OP+CQ=6，则有t+2t=6， 解得：t=2． 故此刻t的值为：t1=，t2=，t3=，t4=2．

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