题目

在等比数列{an}中,a2a3=32,a5=32. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{an}的前n项和为Sn,求S1+2S2+…+nSn. 答案：解:(1)设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,依题意得 解得a1=2,q=2, ∴an=2·2n-1=2n. (2)∵Sn表示数列{an}的前n项和, ∴Sn==2(2n-1), ∴S1+2S2+…+nSn=2[(2+2·22+…+n·2n)-(1+2+…+n)]=2(2+2·22+…+n·2n)-n(n+1), 设Tn=2+2·22+…+n·2n① 则2Tn=22+2·23+…+n·2n+1② ①-②,得-Tn=2+22+…+2n-n·2n+1 =-n·2n+1 =(1-n)2n+1-2, ∴Tn=(n-1)2n+1+2, ∴S1+2S2+…+nSn=2[(n-1)2n+1+2]-n(n+1) =(n-1)2n+2+4-n(n+1).

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