题目

如图，四棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面是的菱形， 为的中点. (Ⅰ)求与底面所成角的大小； (Ⅱ)求证：平面； (Ⅲ)求二面角的余弦值.   答案：解：(I)取DC的中点O，由ΔPDC是正三角形，有PO⊥DC． 又∵平面PDC⊥底面ABCD，∴PO⊥平面ABCD于O． 连结OA，则OA是PA在底面上的射影．∴∠PAO就是PA与底面所成角． ∵∠ADC=60°，由已知ΔPCD和ΔACD是全等的正三角形，从而求得OA=OP=． ∴∠PAO=45°．∴PA与底面ABCD可成角的大小为45°．……………………………4分 (II)由底面ABCD为菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，有OA⊥DC． 建立空间直角坐标系如图，………………………………………………………………5分 则, ． 由M为PB中点，∴． ∴． ∴， ． ∴PA⊥DM，PA⊥DC．   ∴PA⊥平面DMC．……………………………8分     (III)．令平面BMC的法向量， 则，从而x+z=0；  ……①,  ，从而． ……② 由①、②，取x=−1，则．   ∴可取．……………10分 由(II)知平面CDM的法向量可取，…………………………11分 ∴．  ∴所求二面角的余弦值为－．…………………………………………………13分 法二：（Ⅰ）方法同上                               （Ⅱ）取的中点，连接，由（Ⅰ）知，在菱形中，由于，则，又，则，即， 又在中，中位线，，则，则四边形为，所以，在中，，则，故而， 则…………………………………………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，则为二面角的平面角，在中，易得，， 故，所求二面角的余弦值为.…………13分

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