题目

如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O交斜边AC于点D，过圆心O作OE∥AC，交BC于点E，连接DE． （1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由； （2）求证：2DE2=CD•OE； （3）若tanC=，DE=，求AD的长． 答案：【考点】MR：圆的综合题．菁优网版权所有 【分析】（1）先判断出DE=BE=CE，得出∠DBE=∠BDE，进而判断出∠ODE=90°，即可得出结论； （2）先判断出△BCD∽△ACB，得出BC2=CD•AC，再判断出DE=BC，AC=2OE，即可得出结论； （3）先求出BC，进而求出BD，CD，再借助（2）的结论求出AC，即可得出结论． 【解答】解：（1）DE是⊙O的切线，理由：如图， 连接OD，BD，∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=∠BDC=90°， ∵OE∥AC，OA=OB， ∴BE=CE， ∴DE=BE=CE， ∴∠DBE=∠BDE， ∵OB=OD， ∴∠OBD=∠ODB， ∴∠ODE=∠OBE=90°， ∵点D在⊙O上， ∴DE是⊙O的切线； （2）∵∠BCD=∠ABC=90°，∠C=∠C， ∴△BCD∽△ACB， ∴， ∴BC2=CD•AC， 由（1）知DE=BE=CE=BC， ∴4DE2=CD•AC， 由（1）知，OE是△ABC是中位线， ∴AC=2OE， ∴4DE2=CD•2OE， ∴2DE2=CD•OE； （3）∵DE=， ∴BC=5， 在Rt△BCD中，tanC==， 设CD=3x，BD=4x，根据勾股定理得，（3x）2+（4x）2=25， ∴x=﹣1（舍）或x=1， ∴BD=4，CD=3， 由（2）知，BC2=CD•AC， ∴AC==， ∴AD=AC﹣CD=﹣3=． 【点评】此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，判断出△BCD∽△ACB是解本题的关键． 　

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