题目

18.如下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2. E、F分别是线段AB、BC上的点,且EB=FB=1. （Ⅰ）求二面角C—DE—C1的正切值;（Ⅱ）求直线EC1与FD1所成角的余弦值. 答案：18.本小题主要考查二面角、异面直线所成的角、空间向量等知识和思维能力、空间想象能力、运算能力.      解法一：（Ⅰ）过C作CG⊥DE，垂足为G，连结C1G.　　∵CC1⊥平面ABCD，　　∴CG是C1G在平面ABCD上的射影，　　由三垂线定理得DE⊥C1G.　　∴∠CGC1是二面角C－DE－C1的平面角.　　在△ADE中，AE＝AD＝3，∠DAE＝90，　　∴∠ADE＝45∠CDG＝90－45=45.　　∴CG＝CD·sin∠CDG＝4×sin45=2.    ∴tan∠CGC1===.　（Ⅱ）延长BA至点E1，使AE1＝1，连结E1F、DE1、D1E1、DF，　　　　有D1C1∥E1E，D1C1＝E1E，则四边形D1E1EC1是平行四边形.　　　　所以E1D1∥EC1.于是∠E1D1F为EC1与FD1所成的角.　　　　在Rt△BE1F中，E1F＝＝＝.　　　　在Rt△D1DE1中，D1E1＝＝　＝＝.　　　　在Rt△D1DF中，FD1＝＝＝＝.    　　所以在△E1FD1中，由余弦定理得：　      cosE1D1F＝==.　　解法二：（Ⅰ）以A为原点,、、分别为x轴、y轴、z轴的正向建立空间直角坐标系,则有D（0,3,0）、D1（0,3,2）、E（3,0,0）、F（4,1,0）、C1（4,3,2）于是,=（3,－3,0）,=（1,3,2）,=（－4,2,2）.设向量n=（x,y,z）与平面C1DE垂直,则有x=y=－z.∴n=（－,－,z）=（－1,－1,2）,其中z>0.取n0=（－1,－1,2）,则n0是一个与平面C1DE垂直的向量.∵向量=（0,0,2）与平面CDE垂直,∴n0与所成的角θ为二面角C－DE－C1的平面角.∴cosθ===,∴tanθ=.（Ⅱ）设EC1与FD1所成角为β,则cosβ===.

查看本题答案和解析