题目

如图，在矩形ABCD中，∠ADC的平分线与AB交于E，点F在DE的延长线上，∠BFE=90°，连接AF、CF，CF与AB交于G，有以下结论： ①AE=BC ②AF=CF ③BF2=FG•FC ④EG•AE=BG•AB 其中正确的个数是（　　） A．1                           B．2                           C．3                           D．4 答案：C 【分析】 ①只要证明△ADE为等腰直角三角形即可 ②只要证明△AEF≌△CBF（SAS）即可； ③假设BF2=FG•FC，则△FBG∽△FCB，推出∠FBG=∠FCB=45°，由∠ACF=45°，推出∠ACB=90°，显然不可能，故③错误， ④由△ADF∽△GBF，可得，由EG∥CD，推出，推出，由AD=AE，得EG•AE=BG•AB，故④正确， 【详解】 ①DE平分∠ADC，∠ADC为直角， ∴∠ADE=×90°=45°， ∴△ADE为等腰直角三角形， ∴AD=AE， 又∵四边形ABCD矩形， ∴AD=BC， ∴AE=BC ②∵∠BFE=90°，∠BEF=∠AED=45°， ∴△BFE为等腰直角三角形， ∴则有EF=BF 又∵∠AEF=∠DFB+∠ABF=135°，∠CBF=∠ABC+∠ABF=135°， ∴∠AEF=∠CBF 在△AEF和△CBF中，AE=BC，∠AEF=∠CBF，EF=BF， ∴△AEF≌△CBF（SAS） ∴AF=CF ③假设BF2=FG•FC，则△FBG∽△FCB， ∴∠FBG=∠FCB=45°， ∵∠ACF=45°， ∴∠ACB=90°，显然不可能，故③错误， ④∵∠BGF=180°-∠CGB，∠DAF=90°+∠EAF=90°+（90°-∠AGF）=180°-∠AGF，∠AGF=∠BGC， ∴∠DAF=∠BGF，∵∠ADF=∠FBG=45°， ∴△ADF∽△GBF， ∴， ∵EG∥CD， ∴， ∴，∵AD=AE， ∴EG•AE=BG•AB，故④正确， 故选C． 【点睛】 本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

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