题目

正项数列{xn}中，对于任何n∈N*，xn2≤xn-xn+1恒成立.求证：对于任何n∈N*,xn＜恒成立. 答案：证明:①n=1时，由x1-x12≥x2＞0解得0＜x1＜1，原不等式成立.②设n=k时原不等式成立，即0＜xk＜成立，由于xk+1≤xk-xk2恒成立.（1）0＜xk≤时，xk+1≤xk-xk2＜xk≤成立.(2)＜xk＜时，xk+1≤xk(1-xk)＜·(1-)=.由（1）,（2）可知n=k+1时原不等式成立.由①②可知对于任何n∈N*,xn＜成立.

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