题目

设数列{}的前n项和为，且方程有一根 为， (1)  求，； (2)  猜想数列{}的通项公式，并给出严格的证明． 答案：解：(1)当n＝1时，有一根为＝－1， 于是(－1)2－(－1)－＝0，解得＝1/2.   当n＝2时，有一根为＝， 于是(－1/2)2－(－1/2)－＝0，解得＝1/6 . (2)由题设(－1)2－(－1)－＝0， －2＋1－＝0    当n≥2时，＝－， 代入上式得－2＋1＝0.①. 由(1)得S1＝＝1/2，＝＋＝1/2＋1/6＝2/3. 由①可得s3＝3/4.由此猜想＝n/n＋1，n＝1,2,3， 下面用数学归纳法证明这个结论．(i)n＝1时已知结论成立．   (ii)假设n＝k时结论成立，即＝k/k＋1，当n＝k＋1时，由①得＝12－Sk， 即＝k＋1/k＋2，故n＝k＋1时结论也成立 综上，由(i)、(ii)可知＝n/n＋1对所有正整数n都成立．.

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