题目

已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an+(-1)n,n≥1.（1）写出数列{an}的前两项a1,a2；（2）求数列{an}的通项公式;（3）证明对任意的整数m＞4,有++…+＜. 答案：解:(1)由a1=S1=2a1-1,得a1=1;由a1+a2=S2=2a2+(-1)2,得a2=0.(2)当n≥2时，有an=Sn-Sn-1=2(an-an-1)+2×(-1)n,即有an=2an-1+2×(-1)n-1,从而an-1=2an-2+2×(-1)n-2,an-2=2an-3+2×(-1)n-3,…a2=2a1-2.接下来，逐步迭代就有an=2n-1a1+2n-1×(-1)+2n-2×(-1)2+…+2×(-1)n-1=2n-1+(-1)n［(-2)n-1+(-2)n-2+…+(-2)］=2n-1-(-1)n=［2n-2+(-1)n-1］.经验证a1也满足上式，故知an=［2n-2+(-1)n-1］,n≥1.(3)证明:由通项公式得a4=2.当n≥3且n为奇数时，+=［+］=×＜×=(+).当m＞4且m为偶数时，++…+=+(+)+…+(+)＜+(++…+)=+××(1)＜+=.当m＞4且m为奇数时，m+1为偶数，可以转化为上面的情景.++…+＜++…++＜,故任意整数m＞4，有++…+＜.

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