题目

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证： （1）直线DE∥平面A1C1F； （2）平面B1DE⊥平面A1C1F． 答案：解：（1）∵D，E分别为AB，BC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE∥AC， ∵ABC-A1B1C1为棱柱， ∴AC∥A1C1， ∴DE∥A1C1， ∵A1C1⊂平面A1C1F，且DE⊄平面A1C1F， ∴DE∥面A1C1F； （2）在ABC-A1B1C1的直棱柱中， ∴AA1⊥平面A1B1C1， ∴AA1⊥A1C1， 又∵A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1=A1，AA1、A1B1⊂平面AA1B1B， ∴A1C1⊥平面AA1B1B， ∵DE∥A1C1， ∴DE⊥平面AA1B1B， 又∵A1F⊂平面AA1B1B， ∴DE⊥A1F， 又∵A1F⊥B1D，DE∩B1D=D，且DE、B1D⊂平面B1DE， ∴A1F⊥平面B1DE， 又∵A1F⊂平面A1C1F， ∴平面B1DE⊥平面A1C1F． 【解析】本题考查直线与平面平行的证明，以及平面与平面相互垂直的证明，把握常用方法最关键，难度适中． （1）通过证明DE∥AC，进而DE∥A1C1，据此可得直线DE∥平面A1C1F1； （2）通过证明A1F⊥DE结合题目已知条件A1F⊥B1D，进而可得平面B1DE⊥平面A1C1F．

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