题目

如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，若如果P、Q同时出发： （1）几秒钟后，可使CP=CQ？ （2）几秒钟后，可使PQ长为3cm？ （3）几秒钟后，可使四边形APQB的面积占△ABC的面积三分之二？ （4）若点P从点A出发沿边AC﹣CB方向移动，点Q从C点出发沿CB﹣BA方向移动，是否存在某一时刻，使得△PBQ为等腰三角形？ 答案：【考点】三角形综合题． 【分析】（1）根据题意用t表示出CP、CQ，根据题意列出方程，解方程即可； （2）根据勾股定理列出算式，计算即可； （3）根据三角形的面积公式列式计算； （4）分QB=QP的两种情况、BP=BQ根据等腰三角形的性质计算即可． 【解答】解：（1）设t秒钟后，CP=CQ， 由题意得，CP=6﹣t，CQ=2t， 则6﹣t=2t， 解得，t=2， 则2秒钟后，CP=CQ； （2）由题意得，（6﹣t）2+（2t）2=（3）2， 解得，t1=3，t2=﹣（舍去）， 答：3秒钟后，PQ长为3cm； （3）△ABC的面积为：×6×8=24cm2， ∵四边形APQB的面积占△ABC的面积三分之二， ∴△ACP的面积占△ABC的面积三分之一， ∴×（6﹣t）×2t=×24， 解得，t1=2，t2=4， 答：2秒或4秒钟后，可使四边形APQB的面积占△ABC的面积三分之二； （4）当QB=QP时， =8﹣2t， 解得，t1=﹣8﹣10（舍去），t2=8﹣10， 如图1，当QB=QP时，作QD⊥BC于D， 则=，即=， 解得，t=， 当BP=BQ时，如图2： 14﹣t=2t﹣8， 解得，t=， 综上所述，当t=8﹣10或或时，△PBQ为等腰三角形． 　

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