题目

20. 现有一组互不相同且从小到大排列的数据：a0，a1，a2，a3，a4，a5，其中a0＝0.为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记T＝a0+a1+…+a5，xn=，yn=（a0+a1+…+an），作函数y=f（x），使其图象为逐点依次连接点Pn（xn，yn）（n=0，1，2，…，5）的折线. （Ⅰ）求f（0）和f（1）的值；（Ⅱ）设Pn－1Pn的斜率为kn（n=1，2，3，4，5），判断k1，k2，k3，k4，k5的大小关系；（Ⅲ）证明：当x∈（0，1）时，f（x）<x；（Ⅳ）求由函数y=x与y=f（x）的图象所围成图形的面积（用a1，a2，a3，a4，a5表示）. 答案：20.本小题主要考查函数、不等式等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.（Ⅰ）解：f（0）==0，f（1）==1.（Ⅱ）解：kn==，n=1，2，…，5，因为a1<a2<a3<a4<a5，所以k1<k2<k3<k4<k5.（Ⅲ）证明：由于f（x）的图象是连接各点Pn（xn，yn）（n=0，1，…，5）的折线，要证明f（x）<x（0<x<1），只需证明f（xn）<xn（n=1，2，3，4）.事实上，当x∈（xn－1，xn）时，f（x）=（x－xn－1）+f（xn－1）=f（xn－1）+f（xn）<xn－1+xn=x.下面证明f（xn）<xn .证法一：对任何n（n=1，2，3，4），5（a1+…+an）=[n+（5－n）]（a1+…+an）=n（a1+…+an）+（5－n）（a1+…+an）≤n（a1+…+an）+（5－n）nan=n[a1+…+an+（5－n）an]<n（a1+…+an+an+1+…+a5）=nT，所以f（xn）=<=xn .证法二：对任何n（n=1，2，3，4），当kn<1时，yn=（y1－y0）+（y2－y1）+…+（yn－yn－1）=（k1+k2+…+kn）<=xn.当kn≥1时，yn=y5－（y5－yn）=1－[（yn+1－yn）+（yn+2－yn+1）+…+（y5－y4）]=1－（kn+1+kn+2+…+k5）<1－（5－n）==xn，综上，f（xn）<xn.（Ⅳ）解：设S1为［0，1］上折线f（x）与x轴及直线x=1所围成图形的面积，则S1＝（y0+y1）（x1－x0）+（y1+y2）（x2－x1）+（y2+y3）（x3－x2）+（y3+y4）（x4－x3）+（y4+y5）（x5－x4）=（2y1+2y2+2y3+2y4+y5）=[a1+（a1+a2）+（a1+a2+a3）+（a1+a2+a3+a4）]+=（4a1+3a2+2a3+a4），直线y=x与折线y=f（x）所围成图形的面积为　　   S＝－S1＝. 

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