题目

如图2-9,已知△ABC中,∠ABC的平分线交AC于F,交△ABC的外接圆于E,ED切圆于E,交BC的延长线于D.求证:AE2=AF·DE.图2-9 答案：思路分析:题目中的四条线段不能组成两个相似的三角形,所以利用平行将AE换成EC,根据△AFE∽△ECD得到比例式,再换回线段即可.证明:连结EC.∵四边形ABCE内接于⊙O,∴∠7=∠3+∠5.又∵∠5=∠2,∠2=∠1,∴∠7=∠3+∠1.∵∠4=∠3+∠1,∴∠7=∠4.∵DE切⊙O于E,EC为弦,∴∠6=∠5.∴△AFE∽△ECD.∴=,即AE·EC =DE·AF.∵∠1=∠2,∴ =.∴AE =EC.∴AE2 =DE·AF.

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