题目

已知正方形ABCD,E,F分别是AB,CD的中点,将△ADE沿DE折起,如图所示.记二面角ADEC的大小为θ(0＜θ＜π).(1)证明BF∥平面ADE;(2)若△ACD为正三角形,试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上,证明你的结论,并求角θ的余弦值                     答案：(1)证明:E,F分别是正方形ABCD的边AB,CD的中点,∴EB∥FD,且EB=FD.∴四边形EBFD是平行四边形.∴BF∥ED.∵ED平面AED,而BF平面AED.∴BF∥平面AED.(2)解法一:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,过点A作AG⊥平面BCDE,垂足为G,连结GC,GD.∵△ACD为正三角形,∴AC=AD.∴GC=GD.∴G在CD的垂直平分线上.又∵EF是CD的垂直平分线,∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.过G作GH⊥ED,垂足为H,连结AH,则AH⊥DE,∴∠AHG是二面角ADEC的平面角,即∠AHG=θ.设原正方形ABCD的边长为2a,连结AF.在折后图的△AEF中,AF=a,EF=2AE=2a,∴△AEF为直角三角形,AG·EF=AE·AF.∴AG=a.在Rt△ADE中,AH·DE=AD·AE.∴AH=∴GH=.∴cosθ=.解法二:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,连结AF,在平面AEF内过点A作AG′⊥EF,垂足为G′.∵△ACD为正三角形,F为CD的中点,∴AF⊥CD.又∵EF⊥CD,∴CD⊥平面AEF.∵AG′平面AEF,∴CD⊥AG′.又∵AG′⊥EF,且CD∩EF=F,CD平面BCDE,EF平面BCDE,∴AG′⊥平面BCDE.∴G′为A在平面BCDE内的射影G.∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.过G作GH⊥ED,垂足为H,连结AH,则AH⊥DE.∴∠AHG是二面角ADEC的平面角,即∠AHG=θ.设原正方形ABCD的边长为2a,在折后图的△AEF中,AF=a,EF=2AE=2a,∴△AEF为直角三角形,AG·EF=AE·AF.∴AG=a.在Rt△ADE中,AH·DE=AD·AE,∴AH=.∴GH=.∴cosθ=.解法三:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，连结AF，在平面AEF内过点A作AG′⊥EF,垂足为G′.∵△ACD为正三角形,F为CD中点,∴AF⊥CD.又∵EF⊥CD,∴CD⊥平面AEF.∵CD平面BCDE,∴平面AEF⊥平面BCDE.又∵平面AEF∩平面BCDE=EF,AG′⊥EF,∴AG′⊥平面BCDE,即G′为A在平面BCDE内的射影G.∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.过G作GH⊥DE,垂足为H,连结AH,则AH⊥DE.∴∠AHG是二面角ADEC的平面角,即∠AHG=θ.设原正方形ABCD的边长为2a.在折后图的△AEF中,AF=a,EF=2AE=2a,∴△AEF为直角三角形,AG·EF=AE·AF.∴AG=a.在Rt△ADE中,AH·DE=AD·AE.∴AH=.∴GH=.∴cosθ=.

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