题目

已知椭圆，离心率为的椭圆经过点。 （1）求该椭圆的标准方程； （2）过椭圆的一个焦点且互相垂直的直线分别与椭圆交于A，B和C，D，是否存在常数，使得？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由。 答案： 解：（1）设椭圆方程为，则，即， 由此得，故椭圆方程是， 将点的坐标代入，得，解得， 故椭圆方程是。           （2）问题等价于，即是否是定值问题。 椭圆的焦点坐标是，不妨取焦点（2，0）， （i）当直线AB的斜率存在且不等于零时， 设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程是， 代入椭圆方程并整理得。 设，则。 根据弦长公式，           以代换k，得 所以 即            （ii）当直线AB的斜率不存在或等于零时，一个是长轴长度，一个是通径长度，此时，即。 综上所述，故存在实数，使得。

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