题目

已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，)，C(0，)，点T在线段OA上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A落在射线AB上(记为点A′)，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S； (1)求∠OAB的度数，并求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式； (2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围； (3)S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由.   答案： (1) ∵A，B两点的坐标分别是A(10，0)和B(8，)，        ∴，        ∴        当点A´在线段AB上时，∵，TA=TA´，        ∴△A´TA是等边三角形，且，        ∴，，           ∴，    当A´与B重合时，AT=AB=，        所以此时.   (2)当点A´在线段AB的延长线，且点P在线段AB(不与B重合)上时，      纸片重叠部分的图形是四边形(如图(1)，其中E是TA´与CB的交点)，        当点P与B重合时，AT=2AB=8，点T的坐标是(2，0)      又由(1)中求得当A´与B重合时，T的坐标是(6，0)      所以当纸片重叠部分的图形是四边形时，. 3)S存在最大值        当时，，      在对称轴t=10的左边，S的值随着t的增大而减小， ∴当t=6时，S的值最大是. 当时，由图，重叠部分的面积 ∵△A´EB的高是， ∴     当t=2时，S的值最大是； 当，即当点A´和点P都在线段AB的延长线是(如图，其中E是TA´与CB的交点，F是TP与CB的交点)， ∵，四边形ETAB是等腰形，∴EF=ET=AB=4， ∴ 综上所述，S的最大值是，此时t的值是

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