题目

设双曲线C：的左、右顶点分别为A1、A2，垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点P、Q。    （Ⅰ）若直线m与x轴正半轴的交点为T，且，求点T的坐标；    （Ⅱ）求直线A1P与直线A2Q的交点M的轨迹E的方程；    （Ⅲ）过点F（1，0）作直线l与（Ⅱ）中的轨迹E交于不同的两点A、B，设，若（T为（Ⅰ）中的点）的取值范围。 答案：（Ⅰ）点T的坐标为（2，0） （Ⅱ） （Ⅲ） 解析: （Ⅰ）由题，得，设 则 由  …………① 又在双曲线上，则   …………② 联立①、②，解得     由题意， ∴点T的坐标为（2，0）   …………3分 （Ⅱ）设直线A1P与直线A2Q的交点M的坐标为（x，y） 由A1、P、M三点共线，得    …………③  …………1分 由A2、Q、M三点共线，得    …………④  …………1分 联立③、④，解得    …………1分 ∵在双曲线上， ∴ ∴轨迹E的方程为  …………1分 （Ⅲ）容易验证直线l的斜率不为0。 故可设直线l的方程为  中，得    设 则由根与系数的关系，得  ……⑤   ……⑥   …………2分 ∵ ∴有 将⑤式平方除以⑥式，得    …………1分 由   …………1分 ∵ 又 故 令    ∴，即 ∴ 而 ，  ∴ ∴

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