题目

已知：图1为一锐角是30°的直角三角尺，其边框为透明塑料制成(内、外直角三角形对应边互相平行且三处所示宽度相等)．操作：将三角尺移向直径为4cm的⊙O，它的内Rt△ABC的斜边AB恰好等于⊙O的直径，它的外Rt△A′B′C′的直角边A′C′ 恰好与⊙O相切(如图2)。思考：【小题1】求直角三角尺边框的宽【小题2】求证：BB′C′+CC′B′=75°。【小题3】求边B′C′的长。 答案：【小题1】过O作OD⊥A′C′于D，交AC于E，∵AC∥A′C′，∴AC⊥OD，∵A′C′与⊙O相切，AB为圆O的直径，且AB=4cm，∴OD=OA=OB=AB=×4=2（cm），在Rt△AOE中，∠A=30°，∴OE=OA=×2=1（cm），∴DE=OD-OE=2-1=1（cm）则三角尺的宽为1cm．（4分【小题2】∵三角板的宽度是一样大∴BB′平分∠A′B′C′，C C′平分∠A′C′B′∵∠A′B′C′=60°，∠A′C′B′=90°∴BB′C′=30°，CC′B′=45°∴BB′C′+CC′B′=75°（3分）【小题3】B′C=.（3分）解析:（1）OD为圆的半径，利用Rt△AOE中，∠A=30°，算出OE的长，这样就求出DE的长，即为三角尺的宽；（2）根据三角形的宽度相等得出BB′、C C′是角平分线算出BB′C′、CC′B′的值，然后证出结论；（3）利用三角函数性质计算出B′C的值

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