题目

已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式． (2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn>60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由． 答案：解：(1)设数列{an}的公差为d， 依题意得，2，2＋d，2＋4d成等比数列， 故有(2＋d)2＝2(2＋4d)， 化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4. 当d＝0时，an＝2； 当d＝4时，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2. 从而得数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4n－2. (2)当an＝2时，Sn＝2n，显然2n<60n＋800， 此时不存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立． 当an＝4n－2时， 令2n2>60n＋800，即n2－30n－400>0， 解得n>40或n<－10(舍去)， 此时存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立，n的最小值为41. 综上，当an＝2时，不存在满足题意的正整数n； 当an＝4n－2时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41.

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