题目

已知集合A是集合Pn＝{1，2，3，…，n} (n≥3，n∈N*)的子集，且A中恰有3个元素，同时这3个元素的和是3的倍数．记符合上述条件的集合A的个数为f(n)． （1）求f(3)，f(4)； （2）求f(n)（用含n的式子表示）． 答案：解：（1）f(3)＝1，f(4)＝2；                    （2）设A0＝{m∣m＝3p，p∈N*，p≤}， A1＝{m∣m＝3p－1，p∈N*，p≤}， A2＝{m∣m＝3p－2，p∈N*，p≤}， 它们所含元素的个数分别记为∣A0∣，∣A1∣，∣A2∣． ①当n＝3k时，则∣A0∣＝∣A1∣＝∣A2∣＝k． k＝1，2时，f(n)＝(C)3＝k3； k≥3时，f(n)＝3C＋(C)3＝k3－k2＋k． 从而 f(n)＝n3－n2＋n，n＝3k，k∈N*．        ②当n＝3k－1时，则∣A0∣＝k－1，∣A1∣＝∣A2∣＝k． k＝2时，f(n)＝f(5)＝2×2×1＝4； k＝3时，f(n)＝f(8)＝1＋1＋3×3×2＝20； k＞3时，f(n)＝C＋2C＋C (C)2＝k3－3k2＋k－1；  从而 f(n)＝n3－n2＋n－，n＝3k－1，k∈N*．  ③当n＝3k－2时，∣A0∣＝k－1，∣A1∣＝k－1，∣A2∣＝k． k＝2时，f(n)＝f(4)＝2×1×1＝2； k＝3时，f(n)＝f(7)＝1＋3×2×2＝13； k＞3时，f(n)＝2C＋C＋(C)2 C＝k3－k2＋5k－2； 从而 f(n)＝n3－n2＋n－，n＝3k－2，k∈N*． 所以f(n)＝  

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