题目

已知：二次函数y=ax2﹣2x+c的图象与x于A、B，A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x=1，平移一个单位后经过坐标原点O （1）求这个二次函数的解析式； （2）直线交y轴于D点，E为抛物线顶点．若∠DBC=α，∠CBE=β，求α﹣β的值； （3）在（2）问的前提下，P为抛物线对称轴上一点，且满足PA=PC，在y轴右侧的抛物线上是否存在点M，使得△BDM的面积等于PA2？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 　 答案：【解答】解：（1）由题意，A（﹣1，0）， ∵对称轴是直线x=1， ∴B（3，0）；（1分） 把A（﹣1，0），B（3，0）分别代入y=ax2﹣2x+c 得；（2分） 解得． ∴这个二次函数的解析式为y=x2﹣2x﹣3． （2）∵直线与y轴交于D（0，1）， ∴OD=1， 由y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4得E（1，﹣4）； 连接CE，过E作EF⊥y轴于F（如图1），则EF=1， ∴OC=OB=3，CF=1=EF， ∴∠OBC=∠OCB=∠45°， BC==， ； ∴∠BCE=90°=∠BOD，， ， ∴， ∴△BOD∽△BCE，（6分） ∴∠CBE=∠DBO， ∴α﹣β=∠DBC﹣∠CBE=∠DBC﹣∠DBO=∠OBC=45°．（7分） （3）设P（1，n）， ∵PA=PC， ∴PA2=PC2，即（1+1）2+（n﹣0）2=（1+0）2+（n+3）2 解得n=﹣1， ∴PA2=（1+1）2+（﹣1﹣0）2=5， ∴S△EDW=PA2=5；（8分） 法一：设存在符合条件的点M（m，m2﹣2m﹣3），则m＞0， ①当M在直线BD上侧时，连接OM（如图1）， 则S△BDM=S△OBM+S△ODM﹣S△BOD=5， 即， ， 整理，得3m2﹣5m﹣22=0， 解得m1=﹣2（舍去），， 把代入y=m2﹣2m﹣3得； ∴；（10分） ②当M在直线BD下侧时，不妨叫M1，连接OM1（如图1）， 则S△BDM1=S△BOD+S△BOM1﹣S△DOM1=5， 即， ， 整理，得3m2﹣5m﹣2=0， 解得\，（舍去） 把m=2代入y=m2﹣2m﹣3得y=﹣3， ∴M1（2，﹣3）； 综上所述，存在符合条件的点M，其坐标为或（2，﹣3）．（12分） 法二：设存在符合条件的点M（m，m2﹣2m﹣3），则m＞0， ①当M在直线BD上侧时，过M作MG∥y轴， 交DB于G；（如图2） 设D、B到MG距离分别为h1，h2，则 S△BDM=S△DMG﹣S△BMG=5， 即， ， ， 整理，得3m2﹣5m﹣22=0； 解得m1=﹣2（舍去），； 把代入y=m2﹣2m﹣3 得； ∴．（10分） ②当M在直线BD下侧时，不妨叫M1，过M1作M1G1∥y轴，交DB于G1（如图2） 设D、B到M1G1距离分别为h1、h2，则S△BDM=S△DM1G1+S△BM1G1=5， 即， ， ， 整理，得3m2﹣5m﹣2=0， 解得，（舍去） 把m=2代入y=m2﹣2m﹣3得y=﹣3， ∴M1（2，﹣3）； 综上所述，存在符合条件的点M，其坐标为或（2，﹣3）．（12分） 法三：①当M在直线BD上侧时，过M作MH∥BD，交y轴于H，连接BH；（如图3） 则S△DHB=S△BDM=5， 即，， ∴DH=， ∴； ∴直线MH解析式为； 联立 得或； ∵M在y轴右侧， ∴M坐标为．（10分） ②当M在直线BD下侧时，不妨叫M1，过M1作M1H1∥BD，交y轴于H1， 连接BH1（如图3），同理可得， ∴， ∴直线M1H1解析式为， 联立 得或； ∵M1在y轴右侧， ∴M1坐标为（2，﹣3） 综上所述，存在符合条件的点M，其坐标为或（2，﹣3）．（12分）

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