题目

（陕西卷理20文21）已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点． （Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行； （Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 答案：解：解法一：（Ⅰ）如图，设，， 把代入得， 由韦达定理得，， ，点的坐标为． 设抛物线在点处的切线的方程为， 将代入上式得， 直线与抛物线相切， ，．即． （Ⅱ）假设存在实数，使，则，又是的中点， ． 由（Ⅰ）知 ． 轴，． 又        ． ，解得． 即存在，使． 解法二：（Ⅰ）如图，设，把代入得 ．由韦达定理得． ，点的坐标为．，， 抛物线在点处的切线的斜率为，． （Ⅱ）假设存在实数，使． 由（Ⅰ）知，则 ， ，，解得．即存在，使．

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