题目

设函数（e为自然对数的底数），，． （1）若x=0是F（x）的极值点，且直线x=t（t≥0）分别与函数f（x）和g（x）的图象交于P，Q，求P，Q两点间的最短距离； （2）若x≥0时，函数y=F（x）的图象恒在y=F（﹣x）的图象上方，求实数a的取值范围． 答案：解：（1）因为F（x）=ex+sinx﹣ax，所以F'（x）=ex+cosx﹣a， 因为x=0是F（x）的极值点，所以F'（0）=1+1﹣a=0，a=2． 又当a=2时，若x＜0，F'（x）=ex+cosx﹣a＜1+1﹣2=0， 所以F'（x）在（0，+∞）上为增函数，所以F'（x）＞F'（0）=1+1﹣2=0，所以x=0是F（x）的极小值点， 所以a=2符合题意，所以|PQ|=et+sint﹣2t．令h（x）=ex+sinx﹣2x，即h'（x）=ex+cosx﹣2， 因为h''（x）=ex﹣sinx，当x＞0时，ex＞1，﹣1≤sinx≤1， 所以h''（x）=ex﹣sinx＞0，所以h'（x）=ex+cosx﹣2在（0，+∞）上递增， 所以h'（x）=ex+cosx﹣2＞h'（0）=0，∴x∈[0，+∞）时，h（x）的最小值为h（0）=1，所以|PQ|min=1． （2）令ϕ（x）=F（x）﹣F（﹣x）=ex﹣e﹣x+2sinx﹣2ax， 则ϕ'（x）=ex﹣e﹣x+2cosx﹣2a，S（x）=ϕ''（x）=ex﹣e﹣x﹣2sinx， 因为S'（x）=ex+e﹣x﹣2cosx≥0当x≥0时恒成立，所以函数S（x）在[0，+∞）上单调递增，∴S（x）≥S（0）=0当x∈[0，+∞）时恒成立； 故函数ϕ'（x）在[0，+∞）上单调递增，所以ϕ'（x）≥ϕ'（0）=4﹣2a在x∈[0，+∞）时恒成立． 当a≤2时，ϕ'（x）≥0，ϕ（x）在[0，+∞）单调递增，即ϕ（x）≥ϕ（0）=0． 故a≤2时F（x）≥F（﹣x）恒成立． 当a＞2时，因为ϕ'（x）在[0，+∞）单调递增， 所以总存在x0∈（0，+∞），使ϕ（x）在区间[0，x0）上ϕ'（x）＜0，即ϕ（x）在区间[0，x0）上单调递减，而ϕ（0）=0， 所以当x∈[0，x0）时，ϕ（x）＜0，这与F（x）﹣F（﹣x）≥0对x∈[0，+∞）恒成立矛盾， 所以a＞2不符合题意，故符合条件的a的取值范围是（﹣∞，2]．

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