题目

一数列{an}的前n项的平均数为n． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设，证明数列{bn}是递增数列； （3）设，是否存在最大的数M？当x≤M时，对于一切非零自然数n，都有f（x）≤0． 答案：解答： 解：（1）由题意可得，∴， 当n=1时，a1=S1=1； 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1． 当n=1时也成立．故an=2n﹣1． （2）作差bn+1﹣bn====， ∴bn+1＞bn对于任意正整数n都成立，因此数列{bn}是递增数列． （3）∵递增，∴有最小值， ∴，解得x2﹣4x+1≥0，． 所以M=． 存在最大的数M=，当x≤M时，对于一切非零自然数n，都有f（x）≤0．

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