题目

已知函数f(x)=(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行. (1)求实数k的值； (2)求函数f(x)的单调区间. 答案： (1) x>0，f'(x)=， 又由题知f'(1) ==0，所以k=1. (2) x>0，f'(x)=. 设h(x)=-ln x-1(x>0)，则h'(x)=--<0，即h(x)在(0，+∞)上单调递减. 由h(1) =0知，当0<x<1时，h(x)>0，所以f'(x)>0； 当x>1时，h(x)<0，所以f'(x)<0. 综上，f(x)的单调增区间是(0，1)，单调减区间是(1，+∞).

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