题目

（本小题满分13分） 如图，双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．又已知该双曲线的离心率． （1）求证：，，依次成等差数列； （2）若F(，0)，求直线AB在双曲线上所截得的弦CD的长度． 答案：解：（1）由已知e2＝，即＝，故a2＝c2，           ① 从而b2＝c2－a2＝c2，                                               ② 故＝＝，设∠AOF＝∠BOF＝，＝． 故tan∠AOB＝tan2＝＝，即＝． 令＝3m(m＞0) ，则＝4m，＝5m，满足＋＝2， 所以，，，依次成等差数列． （2）由已知c2＝5，代入①，②得a2＝4， b2＝1， 于是双曲线的方程为． 设直线AB的斜率为k，则k＝tan∠BFx＝tan∠AFO＝cot＝2． 于是直线AB的议程为 y＝2(x－)．…………………………………………9分 联立 消y得15x2－x＋84＝0． 故弦CD的长度 | CD |＝＝×＝…13分

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