题目

现有一张长为80 cm、宽为60 cm的长方形铁皮ABCD,准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒,要求材料利用率为100%,不考虑焊接处损失.如图,把长方形ABCD的一个角剪下一块正方形铁皮作为铁皮盒的底面,用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面,设长方体的底面边长为x(cm),高为y(cm),体积为V(cm3). (1) 求出x与y的关系式;  (2) 求该铁皮盒体积V的最大值. 答案： (1) 由题意得x2+4xy=4800,即y=,0<x<60. (2) 铁皮盒体积函数V(x)=x2y=x2·=-x3+1200x,则V'(x)=-x2+1 200.令V'(x)=0,解得x=40. 因为x∈(0,40),V'(x)>0,V(x)是增函数; x∈(40,60),V'(x)<0,V(x)是减函数. 所以V(x)=-x3+1200x在x=40时取得极大值,也是最大值,其值为32000 cm3. 答:该铁皮盒体积V的最大值是32000 cm3.

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