题目
如图,三棱柱中,侧面底面,,且,O为中点.(Ⅰ)在上确定一点,使得平面,并说明理由;(Ⅱ)求二面角的大小.
答案:解:(Ⅰ) 为中点. --------------2分 证法一:取中点,连接. --------------3分 所以可得,所以面面. 所以平面.------------ 6分 证法二:因为,且O为 的中点,所以.又由题意可知, 平面平面,交线为, 且平面,所以平面. 以O为原点,所在直线分别 为x,y,z轴建立空间直角坐标系.…………1分 由题意可知,又 所以得: 则有:. ------------2分 设平面的一个法向量为,则有 ,令,得 所以. ------------------4分 设 即,得 所以得由已知平面, 得 , 即得. 即存在这样的点,为的中点. ----------------6分 m (Ⅱ)由法二,已知,设面的法向量为 ,则, 令,所以. -----------------8分 所以<,>= = = .-------- 10分 由图可得二面角的大小为. -----------12分