题目

设a,b∈(0,+∞)且=1，求证：对于任何n∈N*,有(a+b)n-an-bn≥22n-2n+1成立. 答案：证明:①n=1时，原不等式显然成立；②设n=k时原不等式成立，即（a+b）k-ak-bk≥22k-2k+1,则n=k+1时，（a+b）k+1-ak+1-bk+1=(a+b)［(a+b)k-ak-bk］+abk+akb≥(a+b)(22k-2k+1)+abk+akb,由1=≥,可得ab≥4,a+b≥≥4.∴abk+akb≥2=2k+2.∴(a+b)k+1-ak+1-bk+1≥(a+b)(22k-2k+1)+abk+akb≥4(22k-2k+1)+2k+2=22(k+1)-2(k+1)+1,即n=k+1时原不等式成立.由①②可知对于任何n∈N*原不等式成立.

查看本题答案和解析