题目

 如图T8-6,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,O为AB上一点,经过点A,D的☉O分别交AB,AC于点E,F,连接OF交AD于点G. 图T8-6 (1)求证:BC是☉O的切线; (2)设AB=x,AF=y,试用含x,y的代数式表示线段AD的长; (3)若BE=8,sinB=,求DG的长. 答案：[解析] (1)连接OD,根据同圆半径相等及角平分线条件得到∠DAC=∠ODA,得OD∥AC,切线得证;(2)连接EF,DF,根据直径所对圆周角为直角,证明∠AFE=90°,可得EF∥BC,因此∠B=∠AEF,再利用同弧所对圆周角相等可得∠B=∠ADF,从而证明△ABD∽△ADF,可得AD与AB,AF的关系;(3)根据∠AEF=∠B,利用三角函数,分别在Rt△DOB和Rt△AFE中求出半径和AF,代入(2)的结论中,求出AD,再利用两角对应相等,证明△OGD∽△FGA,再利用对应边成比例,求出DG∶AG的值,即可求得DG的长. 解:(1)证明:连接OD, ∵OA=OD, ∴∠OAD=∠ODA, ∵AD平分∠BAC, ∴∠OAD=∠DAC, ∴∠DAC=∠ODA, ∴OD∥AC, ∴∠ODB=∠C=90°,∴OD⊥BC. ∵OD为☉O的半径,∴BC是☉O的切线. (2)连接EF,DF.∵AE为☉O直径, ∴∠AFE=90°,∴∠AFE=∠C=90°, ∴EF∥BC,∴∠B=∠AEF. ∵∠ADF=∠AEF,∴∠B=∠ADF. 又∵∠OAD=∠DAC,∴△ABD∽△ADF, ∴=,∴AD2=AB·AF, ∴AD=. (3)设☉O半径为r, 在Rt△DOB中,sinB==, ∴=,解得r=5,∴AE=10. 在Rt△AFE中,sin∠AEF=sinB=, ∴AF=10×=, ∴AD==. ∵∠ODA=∠DAC,∠DGO=∠AGF, ∴△OGD∽△FGA, ∴==, ∴=, ∴DG=.

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