题目

（本小题满分14分） 已知点在抛物线上，点到抛物线的焦点F的距离为2， 直线与抛物线交于两点. （Ⅰ）求抛物线的方程； （Ⅱ）若以为直径的圆与轴相切，求该圆的方程； （Ⅲ）若直线与轴负半轴相交，求面积的最大值. 答案：【解析】（Ⅰ）抛物线 的准线为，     ................1分 由抛物线定义和已知条件可知， 解得，故所求抛物线方程为.                .............................3分 （Ⅱ）联立，消并化简整理得. 依题意应有，解得.               ............................4分 设，则，          ..............................5分 设圆心，则应有. 因为以为直径的圆与轴相切，得到圆半径为，         ...............6分 又 . 所以 ，                        .....................7分 解得.                                         .........................8分 所以，所以圆心为. 故所求圆的方程为.                 .......................9分 方法二： 联立，消掉并化简整理得， 依题意应有，解得.         ........................4分 设，则 .       ........................5分 设圆心，则应有， 因为以为直径的圆与轴相切，得到圆半径为.    ......................6分 又 ， 又，所以有，              ...............................7分 解得，                                     .................8分 所以，所以圆心为. 故所求圆的方程为.             ...................9分 （Ⅲ）因为直线与轴负半轴相交，所以， 又与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知，所以，.........................10分 直线：整理得， 点到直线的距离 ，                .................................11分 所以.    .........................12分 令，， ， ＋ 0 － 极大 由上表可得最大值为 .               ................................13分 所以当时，的面积取得最大值 .    ..................................14分

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