题目

已知n∈N*，函数f (x)=x3-nx2+(2n+1)，x∈R．    （I）当n=1时，求f(x)的单调区间；    （II）设函数f(x)在[-1，1]上的最大值为an，记bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<． 答案： 解：（Ⅰ）当n=1时，f(x)=x3-x2+3. 所以=3x2-2x=3x(x -) 由>0,得x<0,或x>. 由<0,得x<O，0<x< 所以f(x)的单调递增区间是(一∞，0)和(,+∞),单调递减区间是(0,). 5分    （II）因为=3x(x -),且≥ 所以当x在R上变化时，与f(x)的变化情况如下表： 而f(0)=2n+1, f(1)=2n+2-n, 又n≥1，所以f(0)≥f(1)． 当x∈[-1，1]时，f(x)max= f(0)=2n+1，即an=2n+1． 所以bn=       =              =. 所以Tn=++…+       =-<

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