题目

如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标； （3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，请直接 写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 答案：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）， ∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上， ∴，解得．…………2分 ∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣；…………3分 （2）∵抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣， ∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2，…………4分 连接BC，如图1所示， ∵B（5，0），C（0，﹣）， ∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∴， 解得，…………5分 ∴直线BC的解析式为y=x﹣， 当x=2时，y=1﹣=﹣， ∴P（2，﹣）；…………6分 （3）存在． 符合条件的点N的坐标为:（4，﹣），（2+，）或（2﹣，）．…9分

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